Nilai Eigen Dan Vektor Eigen

Andaikan A matriks bujur sangkar berordo n x n, vektor taknol x di dalam R^n dikatakan vektor egien A, jika terdapat skalar taknol (lamda) sedemikian rupa sehingga,

lamda disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan lamda.

CONTOH :

Vektor x = [1, 2] adalah vektor eigen dari :

yang bersesuaian dengan nilai eigen, lamda = 3, karena :

Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)

Untuk menghitung nilai eigen matriks A yang berordo n x n tulislah Ax = lamda x sebagai,

Agar lamda menjadi nilai eigen, maka penyeselaian sistem persamaan linear di atas harus non trivial, di mana syaratnya adalah :

Teknik Menghitung Nilai Eigen (2)

Persamaan terakhir adalah polinomial lamda berderajad n yang disebut dengan persamaan karakteristik A, sedangkan nilai eigen matriks A adalah akar-akar persamaan karakteristik A (Akar-akar polinomial dalam lamda).

Beberapa langkah untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen mariks A adalah :

1.  Bentuk matriks 

2.  Hitung determinan,

3.  Tentukan persamaan karakteristik dari,

4. Hitung akar-akar persamaan karakteristik (nilai lamda)

5.  Hitung vektor eigen dari SPL,

CONTOH :

Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari ,

Jawab :

Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah :

Vektor eigen x dari A diperoleh dari :

Jadi vektor eigen untuk lamda yang bernilai 4 adalah x = [5, 1]. Sedangkan vektor eigen untuk lamda yang bernilai -2 adalah x = [1, -1].