KALKULUS 1 

Teknik Informatika B 

Pertemuan Pertama (10 Maret 2021)

Well, Sebenarnya apa sihh yang kalian pikirkan ketika ingin masuk teknik informatika? Apakah kalian berpikir bahwa di teknik informatika tidak ada matematika nya sama sekali atau hanya sekedar pelengkap saja agar nalar kita menjadi semakin tajam? Nahh kalau kalian berpikir seperti itu tidak ada salahnya sihh karena memang kalian mungkin belum mengetahui secara mendalam tentang teknik informatika. 

Nah di dalam teknik informatika itu kita juga akan belajar matematika yang secara umum berbeda dengan yang kita pelajari di bangku SMA/SMK, tetapi ketika kita sudah mempelajarinya tidak jauh berbeda, kok. Di antara materi matematika yang akan kita pelajari di teknik informatika di antaranya adalah :

1. Aljabar Linier
2. Matriks
3. Logika Matematika
4. Numerik
5. Matematika Diskrit
6. Statistik/Statistika
7. Kalkulus

Dari sekian banyaknya materi matematika di teknik informatika, kali ini yang akan kita bahas adalah tentang Kalkulus.

Apasihh Kalkulus Itu?

Secara sederhana kalkulus merupakan cabang matematika yang mempelajari tentang perubahan dan didalamnya melibatkan studi tentang laju perubahan atau bersifat kontinu. Nahh, sebelum kalkulus ditemukan oleh Pak Newton dan Pak Leibniz, seluruh matematika hanya bersifat statis yang berarti ia hanya bisa menghitung suatu objek yang diam. Jadi ketika para ilmuwan terdahulu ingin menghitung suatu objek yang dinamis akan merasa kesulitan, maka dari itu dengan dikembangkannya kalkulus bisa memudahkan mereka dalam melakukan sebuah penghitungan terhadap objek yang dinamis dan ilmunya bisa kita rasakan hingga saat ini.

Kenapa Ada Kalkulus di Teknik Informatika?

Aduuhhh kalkulus? Kok ada kalkulus sihhh, kenapa harus ada?!!

Eittss kenapa stress gitu? Apa kamu merasa aneh karena ada kalkulus di teknik informatika? Nihh perhatikan yaa! Perlu kamu ketahui, ternyata di dalam teknik informatika dibutuhkan yang namanya kalkulus. Maka dari itu, kalkulus dijadikan sebagai kurikulum di program studi teknik informatika. 

Karena di dalam teknik informatika nanti juga akan belajar dasar tentang Kecerdasan Buatan (Artificial Intelligence) atau yang lebih dikenal sebagai AI ( dibaca E ay) dan di dalam AI sendiri terdapat sebuah elemen penting yang harus ditanamkan di dalamnya yaitu kalkulus. Maka dari itu dengan adanya kurikulum yang membahas kalkulus ini sangatlah penting bagi mahasiswa yang memasuki program studi Teknik Informatika. Selain AI kita juga akan mempelajari yang namanya analisis data atau data base yang sifatnya bisa berubah-ubah atau dinamis. Itu hanya dua contoh kegunaan kalkulus di dunia informatika.

Materi Kalkulus Yang Akan Dipelajari.

1. Sistem Bilangan
2. Grafik dan Fungsi
3. Limit
4. Turunan
5. Integral
6. Aplikasi Limit dan Turunan Ilmu Komputer

Sistem Bilangan.

Gambar 1.Kalkulus 1 Bagan Sistem Bilangan

Bilangan Kompleks 

Apa yang dimaksud dengan bilangan kompleks (\(C\)) ? Bilangan komplek adalah suatu penggabungan dari bilangan riil dengan bilangan imajiner. Para ahli matematika mendefinisikan notasi bilangan kompleks dengan menggunakan simbol \(C\) .

Gambar 2.Kalkulus 1 Diagram Venn Bilangan Kompleks

Bilangan Imajiner (\(i\))

Apa yang dimaksud dengan bilangan imajiner (\(i\)) ? Bilangan imajiner merupakan akar kuadrat dari suatu bilangan negatif atau lebih mudahnya adalah \(\sqrt { - n} \) . Para ahli matematika mendefinisikan notasi bilangan imajiner dengan menggunakan simbol \(i\) .Contohnya adalah sebagai berikut : 

• \(\sqrt { - 5} \) , \(\sqrt { - 7} \) , \(\sqrt { - 13} \)
• Definisi 1 : \(i = \sqrt { - 1} \) dan \({i^2} =  - 1\)
• Jadi \(\sqrt { - 5} \) dapat ditulis \(\sqrt { - 1}  \times \sqrt 5  = i\sqrt 5 \)

Bilangan Real (\(R\))

Apa yang dimaksud dengan bilangan real/riil (\(R\)) ? Bilangan riil adalah sistem bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk bilangan bulat dan juga bilangan pecahan desimal. Para ahli matematika mendefinisikan notasi bilangan riil dengan menggunakan simbol \(R\) . Bilangan riil dibagi menjadi dua bagian, yaitu bilangan rasional dan irasional (tak rasional).

Bilangan Rasional (\(Q\))

Bilangan rasional (\(Q\)) adalah suatu bilangan yang bisa diubah menjadi sebuah pecahan biasa dan jika bilangan tersebut diubah ke dalam pecahan desimal, maka angka tersebut akan berhenti di suatu bilangan tertentu. Jika tidak berhenti, maka bilangan tersebut akan membentuk pecahan desimal dengan pola perulangan (looping). 

Maka dari itu, bilangan rasional dibagi lagi menjadi dua bagian, yaitu bilangan bulat dan bilangan pecahan. Bilangan bulat juga dibagi lagi menjadi dua bagian yaitu bilangan cacah dan bilangan negatif. Bilangan pecahan juga dibagi lagi menjadi dua bagian, yaitu bilangan yang berhenti (pada suatu bilangan tertentu) dan bilangan berulang (looping). Agar lebih mudah dipahami, teman-teman bisa melihat diagram venn bilangan rasional di bawah ini :

Gambar 3.Kalkulus 1 Diagram Venn Bilangan Rasional

Contoh dari bilangan rasional bisa dilihat di bawah ini :

Bilangan Pecahan

• Berhenti \(\frac{2}{5} = 0,4\) , \(\frac{1}{4} = 0,25\)
• Berulang \(\frac{1}{9} = 0,111...\) , \(\frac{1}{3} = 0,333...\) , \(\frac{{75}}{{99}} = 0,75757575...\)

Bilangan Bulat

• Cacah \(0,1,2,3,4,...,n\)
• Negatif \( - 1, - 2, - 3, - 4,..., - n\)

Bilangan Irasional/ Tak Rasional (\(I\))

Apa itu bilangan rasional? Secara sederhana irasional adalah bilangan yang tidak rasional. Nahh bilangan irasional ini berbeda jauh dengan bilangan rasional, karena bilangan irasional merupakan sebuah bilangan yang tidak dapat diubah ke pecahan biasa dan jika bilangan ini diubah ke pecahan desimal, maka angka nya tidak akan berhenti dan angkanya juga tidak memiliki pola tertentu, sehingga mungkin akan lebih mudah untuk kita kenali. Contoh dari bilangan irasional bisa dilihat di bawah ini :

• \(\pi  = 3,14159265358979323846\)
• \(e = 2,71828182845905\)
• \(\sqrt 2 ,\sqrt 3 ,\sqrt 5 ,\sqrt 6 ,\sqrt 7 ,\sqrt {11} ,\sqrt {13} \) , dan lain sebagainya

Pertemuan Ke-dua (17 Maret 2021)

1. Penyelesaian pertidaksamaan dari \(\frac{{4x + 3}}{{3x - 5}} > 2\) adalah ...

Dengan syarat pada \(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) adalah \(g(x) \ne 0\)

\(\frac{{4x + 3}}{{3x - 5}} - 2 > 0\)

\(\frac{{4x + 3}}{{3x - 5}} - \frac{{2(3x - 5)}}{{(3x - 5)}} > 0\)

\(\frac{{4x + 3}}{{3x - 5}} - \frac{{6x - 10}}{{(3x - 5)}} > 0\)

\(\frac{{-2x - 7}}{{3x - 5}} > 0\)

\( - 2x - 7 = 0\)   || \( 3x - 5 = 0\)

\( - 2x  =  7\)          || \( 3x  =  5 \)

\(x =  - \frac{7}{2}\)           || \(x =  \frac{5}{3}\)

2. Penyelesaian pertidaksamaan dari \(\frac{4}{{x - 2}} \ge \frac{1}{{x + 3}}\) adalah ...

\(\frac{4}{{x - 2}} \ge \frac{1}{{x + 3}}\)

\(\frac{4}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 3}} \ge 0\)

\(\frac{{4(x + 3)}}{{(x - 2)(x + 3)}} - \frac{{1(x - 2)}}{{(x + 3)(x - 2)}} \ge 0\)

\(\frac{{4(x + 3) - x + 2}}{{(x - 2)(x + 3)}} \ge 0\)

\(\frac{{4x + 12 - x + 2}}{{(x - 2)(x + 3)}} \ge 0\)

\(\frac{{(3x + 14)}}{{(x - 2)(x + 3)}} \ge 0\)

3. Penyelesaian nilai mutlak dari \(5\left| {x + 5} \right| + {\left| {x + 5} \right|^2} - 10 = 4\) adalah... 

\(5\left| {x + 5} \right| + {\left| {x + 5} \right|^2} - 10 = 4\)

misal \(\left| {x + 5} \right| = m\)

\(5m + {m^2} - 10 = 4\)

\({m^2} + 5m - 14 = 0\)

\((m + 7)(m - 2) = 0\)

\(m =  - 7\) TM   ||  \(m = 2\)

\(m = 2\)

\(\left| {x + 5} \right| = 2\)

1. \(x + 5 = 2 \to x =  - 3\)
2. \(x + 5 =  - 2 \to x =  - 7\)

HP \(\{ x|x =  - 7\) atau \(x =  - 3\} \)

Pertemuan ke-tiga, 24 Maret 2021

Pengertian Fungsi Dalam Matematika

Salah satu materi yang dipelajari di dalam matematika adalah fungsi. Nahh, fungsi itu apa sihh? Fungsi merupakan suatu relasi yang memetakan setiap anggota dari suatu himpunan yang disebut sebagai daerah asal atau domain ke tepat salah satu anggota himpunan lain yang disebut sebagai daerah kawan atau kodomain.

Menurut definisi di atas, sebuah relasa antara himpunan dari Domain ke himpunan Kodomain dikatakan fungsi jika memenuhi beberapa syarat, di antaranya sebagai berikut.

• Setiap anggota himpunan domain memiliki pasangan dengan himpunan dari kodomain (domain tidak jomblo).
• Setiap anggota himpunan domain hanya dipasangkan dengan satu anggota himpunan kodomain (domain tidak selingkuh).
• Setiap anggota himpunan kodomain boleh tidak memiliki pasangan dan atau boleh memiliki lebih dari satu pemilih dari himpunan domain.

• Range merupakan anggota yang terplih dari himpunan kodomain. Range dari fungsi di atas adalah {P, Q, R, S}.
• Dalam pasangan berurutan, fungsi di atas dinyatakan sebagai berikut {(A,P), (B,S), (C,R), (D,Q)}.

NOTASI FUNGSI

• f: A \( \to \) B yang berarti f memetakan anggota himpunan A ke himpunan B
• f: a \( \to \) b atau f(a) = b yang berarti f memetakan a ke b atau b merupakan pemetaan dari a
• f(x) = 2x yang berarti f memetakan seluruh anggota domain ke anggota kodomain dengan aturan peta pada kodomain adalah 2 kali dari setiap anggota domain.

SIFAT-SIFAT FUNGSI

\( \bullet \) Fungsi Injektif (Satu-satu)

Jika fungsi f : A \( \to \) B, setiap b \( \in \) B hanya memiliki satu kawan saja di kodomain, maka fungsi itu disebut fungsi injektif.

\( \bullet \) Fungsi Surjektif (Onto)

Pada fungsi f : A \( \to \) B, setiap b \( \in \) B memiliki kawan di domain, maka disebut fungsi surjektif.

Pertemuan ke-empat, 01 April 2021

GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Pada fungsi kuadrat \(y = a{x^2} + bx + c\) biasanya divisualisasikan ke dalam koordinat kartesius sehingga didapatkan suatu grafik fungsi kuadrat. Fungsi domain pada koordinat kartesius terletak pada Sumbu X dan fungsi kodomain nya terletak pada Sumbu Y.

Bentuk dari grafik fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola, sehingga seringkali grafik fungsi kuadrat disebut sebagai grafik parabola. Grafik dapat dibuat dengan meginput nilai X pada interval tertentu sehingga didapat nilai Y. Kemudian, pasangan nilai (x,y) menjadi koordinat dari yang dilewati suatu grafik. Sebagai contoh, persamaan fungsi kuadrat pada grafik fungsi kuadrat \(f(x) = {x^2} + 6x + 5\)  adalah :

Pertemuan ke-empat, 01 April 2021

LIMIT FUNGSI

Limit merupakan sebuah konsep matematika di mana sesuatu dikatakan "hampir" atau "mendekati" suatu nilai tertentu. Limit dapat berupa sebuah fungsi yang kodomain nya "hampir" atau "mendekati" suatu nilai bilangan asli tertentu. Terdapat beberapa metode untuk mencari limit fungsi. Di antaranya sebagai berikut :

1. Metode Subtitusi

Metode subtitusi menentukan hasil suatu limit fungsi dengan mensubtitusikan suatu nilai langsung ke dalam fungsi f(x). Syarat metode ini adalah jika hasil subtitusi tidak membentuk nilai "tak tentu".

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = f(a)\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{f(a)}}{{g(a)}}\)

Contoh :

Tentukanlah nilai limit dari fungsi aljabar berikut :

a. \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 2x - 5 = ...\\ = 2(3) - 5 = 6 - 5\\ = 1\end{array}\)

b. \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} {({x^2} + 1)^3} = ...\\ = {({( - 3)^2} + 1)^3} = {(10)^3}\\ = 1000\end{array}\)

c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{x^3} - {x^2} + 6}}{{{x^2} - 2}} = \frac{{2{{(0)}^3} - {{(0)}^2} + 6}}{{{{(0)}^2} - 2}} = \frac{6}{{ - 2}} =  - 3\)

2. Metode Pemfaktoran (Faktorisasi)

Apabila hasil subtitusi dari suatu limit fungsi menghasilkan nilai tak tentu, maka kita kita harus memfaktorkan bilangan tersebut sehingga tidak lagi menghasilkan bentuk tak tentu. Kemudian, kita bisa melanjutkan menggunakan metode subtitusi sehingga memperoleh hasil dari suatu limit fungsi.

Contoh :

a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{x - 2}} = \frac{{{2^2} + 2(2) - 8}}{{2 - 2}} = \frac{0}{0}\) Apabila menggunakan metode subtitusi menghasilkan suatu Bentuk Tak Tentu, maka gunakan Faktorisasi.

Penyelesaian :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{x - 2}}\) 

\(=\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x + 4)(x - 2)}}{{(x - 2)}}\)

\(=\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 4) = 2 + 4\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{x - 2}} = 6\)

LIMIT FUNGSI TAK HINGGA

a. Apabila nilai suatu fungsi f(x) mendekati L untuk x yang terus membesar menuju tak hingga (\(\infty \)) dan ditulis L xf (\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }  \to \) dibaca limit f(x) mendekati tak hingga).

b. Apabila nilai suatu fungsi f(x) terus membesar untuk x menuju tak hingga (\(\infty \)), maka kita katakan bahwa f memiliki limit \(\infty \) untuk x mendekati \(\infty \) dan ditulis \(\infty \) = \(\infty \) 

c. Apabila nilai suatu fungsi f terus mengecil untuk x menuju \(\infty \) maka kita katakan bahwa f memiliki limit \(\infty \) - untuk x mendekati \(\infty \) dan ditulis \(\infty \) = \(\infty \).

Contoh soal : 

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4x - 7}}{{2{x^2} + 4x + 5}}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{4x}}{{{x^2}}} - \frac{7}{{{x^2}}}}}{{\frac{{2{x^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{4x}}{{{x^2}}} + \frac{5}{{{x^2}}}}}\end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{4}{x} - \frac{7}{{{x^2}}}}}{{2 + \frac{4}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{4}{\infty } - \frac{7}{\infty }}}{{2 + \frac{4}{\infty } + \frac{5}{\infty }}}\)

\(\frac{{0 - 0}}{{2 + 0 + 0}} = \frac{0}{2} = 0\)

Kamis, 22 April 2021

LIMIT BILANGAN EULER

Bilangan Euler atau Euler's Number adalah salah satu konstanta matematis berupa bilangan irasional dengan nilai 2,7182... yang diberi nama oleh seorang matematikawan Leonhard Euler, sehingga bilangan euler dinotasikan dengan huruf e. Bilangan euler merupakan konstanta paling penting dalam bidang kalkulus.

Barisan bilangan dapat dianggap sebagai fungsi dengan domain bilangan asli. Misalkan diberi fungsi 

\(f(x) = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}\)

dengan n bilangan asli.

Contoh Soal :

Limit Bilangan Euler

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{7}{x}} \right)^{x - 2}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{{\frac{x}{7}}}} \right)^{x - 2\left( {\frac{x}{7},\frac{7}{x}} \right)}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{{\frac{x}{7}}}} \right)^{\frac{x}{7}\left( {\frac{{(x - 2)7}}{x}} \right)}}\)

\(e\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{7x - 14}}{x}\)

\(e\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{7x}}{x} - \frac{{14}}{x}}}{{\frac{x}{x}}}\)

\({e^{\frac{{7 - 0}}{1}}} = {e^7}\)

LIMIT TRIGONOMETRI (Trigonometry)

Trigonometri adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari hubungan panjang sisi dan besar sudut dalam suatu segitiga. Enam istilah yang identik dalam trigonometri adalah sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen.

Rumus Limit Trigonometri

Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri untuk x mendekati suatu bilangan c bisa secara mudah didapat dengan melakukan substitusi nilai c pada fungsi trigonometrinya. Persamaan rumus limit fungsi trigonometri seperti pada penjelasan di bawah ini.

Rumus Limit Fungsi Trigonometri Untuk x \( \to \) c :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \sin x = \sin c\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \cos x = \cos c\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \tan x = \tan c\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \cosec x = \cosec c\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \sec x = \sec c\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} cotan x = cotan c\)

Limit Fungsi Trigonometri Untuk x Mendekati 0 (Nol)

Dalam pembahasan ini, ada berbagai rumus yang bisa disebut sebagai "properti" untuk menyelesaikan soal - soal limit trigonometri. Kumpulan properti tersebut bisa dilihat pada daftar rumus limit trigonometri yang diberikan di bawah ini.

Rumus Limit Fungsi Trigonometri Untuk x \( \to \) 0 : 

Contoh Soal :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{4\sin \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {6x - 8} \right)}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{4 \times \sin \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {6x - 8} \right)}}\)

\(\frac{{4 \times \sin \left( {\left( 2 \right) - 2} \right)}}{{\left( {6 \times \left( 2 \right) - 8} \right)}}\)

\(\frac{{4\left( 0 \right)}}{{12 - 8}} = 0\)

Jumat, 04 Juni 2021

KONTINUITAS

Kontinu yang berarti berkesinambung, berkelanjutan dan terus menerus. Jadi fungsi "f" dikatakan kontinu di "a" jika tidak gangguan di grafik fungsi f di titik x = a.

Syarat Kontinu :

1) F(a) terdefinisi

2) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\) ada, yaitu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x)\)

3) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = f(a)\)

\(x \to {a^ - }\) artinya x mendekati a dari kiri

\(x \to {a^ + }\) artinya x mendekati a dari kanan

Jika terpenuhi, maka dikatakan kontinu

Jika tidak terpenuhi, maka dikatakan diskontinu.

Contoh soal :

\(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x,x = 1}\\{x + 2,x \ne 1}\end{array}} \right.\)

a) \(f(x) = x\)

    \(f(1) = 1\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = x + 2\)

    \((1) + 2 = 3\)

    

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = x\)

    \((1) = 1\)

Karena \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }}  \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \), maka \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\) tidak ada. Sehingga \(f(x)\) diskontinu di \(x = 1\).

Senin, 14 Juni 2021

LIMIT BENTUK TAK TENTU

Dalam kalkulus dan cabang lain pada analisis matematika, batasan yang melibatkan kombinasi aljabar fungsi dalam variable independen sering kali dapat dievaluasi dengan mengganti fungsi. Jika ekspresi yang diperoleh setelah substitusi ini tidak memberikan informasi yang cukup untuk menentukan batas aslinya, maka dikatakan menganggap Bentuk tak tentu. Lebih khusus lagi, bentuk tak tentu adalah ekspresi matematika yang melibatkan nilai \(0\), \(1\) dan \(\infty \), diperoleh dengan menerapkan teorema limit aljabar dalam proses mencoba menentukan nilai limit, which gagal untuk membatasi nilai limit tersebut pada satu nilai tertentu dan dengan demikian belum menentukan nilai limit tersebut.

Ada 7 bentuk tak tentu yang biasanya dipertimbangkan dalam literatur : 

\(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty }{\infty }\), \(0 \times \infty \), \(\infty  - \infty \), \({0^0}\), \({1^\infty }\) dan \({\infty ^0}\).

LIMIT TAK TENTU ATURAN L'HOPITAL

Aturan L'Hopital adalah metode umum untuk mengevaluasi bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty }{\infty }\). Aturan ini menyatakan bahwa (dalam kondisi yang sesuai) 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}}\)

di mana f' dan g' adalah turunan dari f dan g. (Perhatikan bahwa aturan ini tidak berlaku untuk ekspresi \(\frac{\infty }{0}\), \(\frac{1}{0}\) dan seterusnya, karena ekspresi ini bukanlah tak tentu). Turunan ini memungkinkan seseorang untuk melakukan penyederhanaan aljabar dan akhirnya mengevaluasi limit.

Aturan L'Hopital juga dapat diterapkan ke bentuk tak tentu lainnya. Pertama menggunakan transformasi aljabar yang sesuai. Misalnya untuk mengevaluasi formulir \({0^0}\) :

Contoh Soal Bentuk Tak Tentu \(\left( {\frac{0}{0}} \right)\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2} + 4x}} = \frac{0}{0}\)

*Aturan L'Hopital

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{2x + 4}}\)

\(\frac{{\sin 0}}{{\left( {2 \times 0} \right) + 4}}\)

\(\frac{0}{4} = 0\)

Minggu, 27 Juni 2021

DIFERENSIAL/ TURUNAN FUNGSI

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses daam menemukan turunan disebut diferensiasi.

Pada fungsi y = f(x), turunan dari variabel y terhadap variabel x dinotasikan dengan \(\frac{{dy}}{{dx}}\) atau \(\frac{{df(x)}}{{dx}}\) atau \(y'\) dan didefinisikan sebagai : 

\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}\)

Contoh Soal :

\(f(x) = {(3x - 2)^2}\)

\(f(x) = 9{x^2} - 12x + 4\)

\(f(x + h) = 9{(x + h)^2} - 12(x + h) + 4\)

\(f(x + h) = 9({x^2} + 2xh + {h^2}) - 12x - 12h + 4\)

\(f(x + h) = 9{x^2} + 18xh + 9{h^2} - 12x - 12h + 4\)

\(f(x + h) - f(x) = (9{x^2} + 18xh + 9{h^2} - 12x - 12h + 4) - (9{x^2} - 12x + 4)\)

\(f(x + h) - f(x) = 18xh + 9{h^2} - 12h\)

\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}\)

\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{18xh + 9{h^2} - 12h}}{h}\)

\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 18x + 9h - 12\)

\(f'(x) = 18x - 12\)

ATURAN RANTAI

Apabila \(y = f(u)\), dengan \(u\) merupakan fungsi yang bisa diturunkan pada x, maka turunan y terhadap x bisa dinyatakan dalam bentuk : 

\(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \times \frac{{du}}{{dx}}\)

atau

\(\frac{{df}}{{dx}} = \frac{{df}}{{du}} \times \frac{{du}}{{dx}}\)

Dari konsep aturan di atas, maka untuk \(y = un\), akan didapatkan : 

\(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d({u^n})}}{{du}} \times \frac{{du}}{{dx}}\)

\(y' = n{u^{n - 1}} \times u'\)

Secara umum bisa dinyatakan seperti berikut ini :

Apabila \(f(x) = {\left[ {u(x)} \right]^n}\) dengan \({u(x)}\) merupakan fungsi yang bisa diturunkan pada x, maka :

\(f'(x) = n{\left[ {u(x)} \right]^{n - 1}} \times u'(x)\)

Contoh Soal

1. Tentukan turunan pertama dari \(y = (3x - 3)3\)

2. Jika \(y = (x2 - 3)5\) dan y' adalah turunan pertama y, maka tentukanlah nilai dari y'(2).